Consigne: Décrire le programme de construction des tangentes au cercle \(\mathcal C(A,B)\) passant par un point \(C\)

Bissectrice de \([AC]\)
Notons \(P,Q\) les points définis par : $$\{P,Q\}=\mathcal C(C,A)\cap\mathcal C(A,C)$$
Soit $$M=(PQ)\cap(AC)$$

Les tangentes passent par l'intersection du cercle de centre \(M\) et \(\mathcal C(A,B)\)

On définit : $$\{D,E\}=\mathcal C(M,A)\cap\mathcal C(A,B)$$



Alors \((CD)\) et \((CE)\) sont tangentes à \(\mathcal C(A,B)\)

Consigne: Soit \(\mathscr C\) la courbe définie par l'équation $$y^2-x^2(x+1)=0$$ calculer l'équation de la tangente en un point de \(\mathscr C\)

Si \(\mathscr C\) est déterminée par l'équation \(f(x,y)=0\), alors \(\operatorname{grad} f=\begin{pmatrix}{\frac{\partial f}{\partial x}}\\ {\frac{\partial f}{\partial y}}\end{pmatrix}\) est orthogonale à \(\mathscr C\)

La tangente en \((x_0,y_0)\) à \(\mathscr C\) a donc pour équation $$\left\langle\binom xy-\binom{x_0}{y_0},\operatorname{grad} f(x_0,y_0)\right\rangle=0$$

Calcul du gradient
Donc pour \((x_0,y_0)\in\mathscr C,(x_0,y_0)\neq(0,0)\), $$\operatorname{grad} f(x_0,y_0)=\begin{pmatrix} x_0(3x_0+2)\\ 2y_0\end{pmatrix}$$

Conclusion


Donc la tangente à \(\mathscr C\) en \((x_0,y_0)\) est : $$(x-x_0)x_0(3x_0+2)+2y_0(y-y_0)=0$$

(Gradient, Produit scalaire)

Consigne: Soit \(\mathscr C\) la courbe définie par l'équation $$y^2-x^2(x+1)=0$$
On exclut de l'exercice les points \(\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}\) s'annulent simultanément
On a \((x_0,y_0)\in\mathscr C,(x_0,y_0)\neq(0,0)\), $$\operatorname{grad} f(x_0,y_0)=\begin{pmatrix} x_0(3x_0+2)\\ 2y_0\end{pmatrix}$$
Pour quels points la tangente est-elle horizontale ?

Horizontal si sur la courbe et si \(\frac{\partial f}{\partial x}=0\)

La tangente à \(\mathscr C\) est horizontale en \((x_0,y_0)\) si le gradient de \(f\) en \((x_0,y_0)\) est vertical, avec $$\operatorname{grad} f(x_0,y_0)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0 ,y_0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_0(3x_0+2)\\ 2y_0\end{pmatrix}$$ la tangente est donc horizontale si et seulement si \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0\)
On a $$\begin{align}&\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0\\ \iff&-3x_0^2-2x_0=0\\ \iff&x_0(-3x_0-2)=0\\ \iff& x_0=0\quad\text{ ou }\quad x_0=-\frac23\end{align}$$ de plus, on veut que \((x_0,y_0)\in\mathscr C\), donc \(f(x_0,y_0)=0\)
Si \(x_0=0\), alors \(y_0=0\) (c'est un point exclus par l'exercice)
Si \(x_0=-\frac32\), alors \(y=\pm\frac23\frac{\sqrt3}3\)
La tangente à la courbe est donc horizontale en \((-\frac23,-\frac23\frac{\sqrt3}2)\)

Consigne: Trouver l'équation du plan tangent à la surface $$z=\sin(\pi xy)\exp(2x^2y-1)$$ en \((x_0,y_0,z_0)=(1,\frac12,1)\)

Calcul des dérivées partielles et évaluation en \((1,\frac12)\)
$$\begin{align}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&=y\pi\cos(\pi xy)e^{2x^2y-1}+\sin(\pi xy)\cdot4 xye^{2x^2y-1}\\ \implies\frac{\partial f}{\partial x}(1,1/2)&=2\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)&=x\pi\cos(\pi xy)e^{2x^2y-1}+\sin(\pi xy)\cdot2x^2e^{2x^2y-1}\\ \implies\frac{\partial f}{\partial x}(1,1/2)&=2\end{align}$$

On vérifie que le point \((1,\frac12,1)\) appartient à la surface : $$f(1,1/2)=1e^0=1\qquad\checkmark$$ donc le point appartient bien à la surface

Application de la formule

L'équation du plan tangent en \((1,\frac12,1)\) est donc : $$\begin{align}&z-1=2(x-1)+2(y-2)\\ \iff&2x+2y-z=2\end{align}$$

(Surface de niveau)

Consigne: Trouver les points sur le paraboloïde \(z=4x^2+y^2\) où le plan tangent est parallèle au plan \(x+2y+z=6\)

Chercher un vecteur normal au plan
Un vecteur normal au plan est \(u_0=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 1\end{pmatrix}\)

Définition de la surface
Soit \(f(x,y,z)=z-4x^2-y^2\). La surface est donnée par $$\mathscr S=\{(x,y,z)\mid f(x,y,z)=0\}$$

On sait que \(\operatorname{grad} f(x,y,z)\) est orthogonale au plan tangent à \(\mathscr S\) en \((x,y,z)\)
On cherche donc les points \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}\in{\Bbb R}^3\) tels que \(\operatorname{grad}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}\) est colinéaire à \(u_0\)
$$\begin{align}&\iff\exists\lambda\in{\Bbb R},\begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lambda\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=2\lambda\\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\lambda\end{cases}\\ &\iff\exists\lambda\in{\Bbb R},\begin{cases}-8x=\lambda\\ -2y=2\lambda\\ 1=\lambda\end{cases}\\ &\iff\exists\lambda\in{\Bbb R},\begin{cases} x=-1/8\\ y=-1\\ \lambda=1\end{cases}\end{align}$$ au point \((-1/8,-1,17/16)\), le plan tangent à la surface d'équation \(z=4x^2+y^2\) est parallèle au plan d'équation \(x+2y+z=6\)

Consigne: Soit \(\mathscr C\) le cône d'équation \(z^2=x^2+y^2\)
On note \(\mathscr P_{M_0}\) le plan tangent au cône \(\mathscr C\) en \(M_0\in\mathscr C\setminus\{(0,0,0)\}\)
Déterminer un vecteur normal et l'équation du plan tangent \(\mathscr P_{M_0}\) en un point \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) du cône autre que l'origine

Définition de la fonction \(\to\) le vecteur normal est le gradient de cette fonction
Soit \(f(x,y,z)=z^2-x^2-y^2\) un vecteur normal à \(\mathscr P_{M_0}\) est $$\operatorname{grad} f(M_0)=\begin{pmatrix}-2x_0\\ -2y_0\\ 2z_0\end{pmatrix}$$

L'équation du plan tangent en \(M_0\) est $$\begin{align}&\left\langle\begin{pmatrix}-2x_0\\ -2y_0\\ 2z_0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} x-x_0\\ y-y_0\\ z-z_0\end{pmatrix}\right\rangle=0\\ \implies& x_0(x-x_0)+y_0(y-y_0)-z(z-z_0)=0\end{align}$$

(Vecteur normal, Gradient)

Consigne: Soit \(\mathscr C\) le cône d'équation \(z^2=x^2+y^2\)
On note \(\mathscr P_{M_0}\) le plan tangent au cône \(\mathscr C\) en \(M_0\in\mathscr C\setminus\{(0,0,0)\}\)
L'équation du plan tangent \(\mathscr P_{M_0}\) en un point \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) du cône autre que l'origine est donnée par : $$x_0(x-x_0)+y_0(y-y_0)-z(z-z_0)=0$$ déterminer les autres points du cône ayant le même plan tangent \(\mathscr P_{M_0}\)

Définition d'un deuxième plan tangent
Soit \(M_1=(x_1,y_1,z_1)\in\mathscr C\)
Le plan tangent \(P_{M_1}\) en \(M_1\) à \(\mathscr C\) a pour équation : $$x_1(x-x_1)+y_1(y-y_1)-z(z-z_1)=0$$

Les deux plans sont parallèles
On a \(P_{M_0}=P_{M_1}\) si et seulement si : $$\exists\lambda,\begin{cases} x_0=\lambda x_1\\ y_0=\lambda y_1\\ z_0=\lambda z_1\end{cases}$$

Trouver un point commun au deux plans
On soit aussi avoir $$\begin{align}&x_1(x_0-x_1)+y_1(y_0-y_1)-z_1(z_0-z_1)=0\\ \iff& x_1^2(\lambda-1)+y^2_1(\lambda-1)-z^2_1(\lambda-1)=0\\ \iff&\underbrace{(x_1^2+y_1^2-z^2_1)}_{=0\quad\text{ car }\; M_1\in\mathscr C}(\lambda-1)=0\end{align}$$c'est toujours vrai, on doit donc seulement avoir $$\exists\lambda,\begin{cases} x_0=\lambda x_1\\ y_0=\lambda y_1\\ z_0=\lambda z_1\end{cases}$$

Vérification et conclusion

On vérifie que si \(M_1=\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1\end{pmatrix}\in\mathscr C\) et \(\lambda\in{\Bbb R}^*\), alors \(M_0=\begin{pmatrix}\lambda x_1\\ \lambda y_1\\ \lambda z_1\end{pmatrix}\in\mathscr C\)
En effet : $$\begin{align} z_0^2=x_0^2+y_0^2&\iff(\lambda z_1)^2=(\lambda x_1)^2+(\lambda y_1)^2\\ &\iff\lambda^2z_1^2=\lambda^2x_1^2+\lambda^2y_1^2\\ &\iff z_1^2=x_1^2+y_1^2&\quad\text{ car }\; \lambda\neq0\end{align}$$ donc si \(M_1\in\mathscr C\), si \(\lambda\neq0\), alors \(M_0\in\mathscr C\)
Conclusion : \(\forall M_1\in\mathscr C\setminus\{(0,0,0)\},\forall\lambda\neq0\), pour \(M_0=\lambda M_1\), on a \(P_{M_0}=P_{M_1}\)

Consigne: Soit \(A,B,C,D\) quatre points donnés distincts
On souhaite tracer, quand il existe, un cercle qui passe par \(A\) et \(B\) et qui est tangent à \((CD)\)
Dans le cas où \((AB)\cap(CD)=\{E\}\) avec \(A\in\,]E,B[\), exécuter et justifier le programme de construction suivant : $$\begin{align} 1)\quad&E=(AB)\cap(CD)\quad\text{ avec }\quad A\in\,]EB[\\ 2)\quad&\mathcal D\text{ la droite perpendiculaire à }(AB)\text{ qui passe par }A\\ 3)\quad&\{F,F^\prime\}:=\mathcal D\cap\mathcal C[EB]\\ 4)\quad&\{T_1,T_2\}:=\mathcal C(E,F)\cap(CD)\\ 5)\quad&\text{les deux cercles qui passent par }A,B\text{ et }T_i,i=1,2\text{ conviennent}\end{align}$$

Schéma du programme terminé

Direction de la démonstration via la puissance
Il suffit de montrer que $$P_{ABT_1}(E)=ET_1^2\qquad(\implies ET_1\text{ tangente})$$

Calculer la puissance

On a $$\begin{align} P_{ABT_1}(E)&=EA\cdot EB\\ &=EA\cdot(EA+AB)\\ &=EA^2+\underbrace{EA\cdot AB}_{\lvert P_{\mathcal C[EB]}(A)\rvert}\\ &=EA^2+AF^2\\ &=EF^2&&(\text{Pythagore})\\ &=ET_1^2&&(F,T_1\in\mathcal C(E,F)\text{ par construction})\end{align}$$

Consigne: Soit \(A,B,C,D\) quatre points donnés distincts
On souhaite tracer, quand il existe, un cercle qui passe par \(A\) et \(B\) et qui est tangent à \((CD)\)
Dans le cas où \((AB)\cap(CD)=\{E\}\) avec \(A\in\,]E,B[\), exécuter et justifier le programme de construction suivant : $$\begin{align} 1)\quad&E=(AB)\cap(CD)\quad\text{ avec }\quad A\in\,]EB[\\ 2)\quad&\mathcal D\text{ la droite perpendiculaire à }(AB)\text{ qui passe par }A\\ 3)\quad&\{F,F^\prime\}:=\mathcal D\cap\mathcal C[EB]\\ 4)\quad&\{T_1,T_2\}:=\mathcal C(E,F)\cap(CD)\\ 5)\quad&\text{les deux cercles qui passent par }A,B\text{ et }T_i,i=1,2\text{ conviennent}\end{align}$$
Donner les programmes de construction dans les autres cas

Énumérations des cas : soit même programme, soit impossible certains cas
Autres cas possibles :
- \(B\in\,]AE[\) : même construction
- \(E\in\,]AB[\) : impossible car un cercle ne peut pas être tangent à l'une de ses cordes
- \(E\) n'existe pas : \((AB)//(CD)\)
- \(B=E\) (ou \(A=E\))

Troisième cas tracer la médiatrice de \([AB]\)
Programme pour le troisième cas : $$M=\frac{A+B}2,\mathcal D\ni M\quad\text{ et }\quad\mathcal D\perp(CD)$$

Cercle passant par \(A,B\) et l'intersection de cette médiatrice et \((CD)\) est solution
$$N=\mathcal D\cap(CD),\qquad \mathcal C(A,B,N)\text{ solution}$$

Programme pour le quatrième cas : $$B\in\mathcal D\perp(CD)$$

Tracer la médiatrice de \([AB]\)
$$M=\frac{A+B}2,\qquad \mathcal D^\prime\ni M,\perp(AB)$$

Le cercle dont le centre est l'intersection des deux droites fonctionne

$$O=\mathcal D\cap\mathcal D^\prime,\qquad \mathcal C(O,A)\text{ fonctionne}$$